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1熵
熵
二十世纪八十年代的中国知识界对市场化、工业化及其反思讨论的很热烈，西方的有关著作也译进了很多。《熵：一种新的世界观》[杰里米·里夫金、特德·霍华德
著 上海译文出版社
1987年版]便是其中之一。尽管书中提出的观点，所进行的探讨直到现在看来仍不为我们的主流认可，但确实是极具启发的另一种思维。
（一） 熵和退化史观
何为熵？作者说熵定律"实质是说，宇宙万物从一定的价值与结构开始，不可挽回地向混乱和荒废发展。"
[《熵：一种新的世界观》第4页]熵律适用于孤立封闭系统的一切过程，小到一个生命体，大到整个宇宙。
与熵律相对应的有赫尔姆霍茨的宇宙观：密集能源的大爆炸形成银河系、星体，它们将沿着熵律的方向，走向永恒的死亡与平衡。又有生命的再解释：生命体以秩序和活力出现，以衰亡结束：生命体不断与外界交换物质与能量的实质是为了减缓内部熵值的增加。
在我们的社会历史领域，熵律也同样存在。它表现为：全部社会活动的真正内容，是有效能量转变为无效能量，是有效能量的不断转化、变换和不可挽回的消失。若相比我们这个时代多数人和许多的杰出政治家、社会学家们所信奉的人类及世界总是以各种方式在进步、在发展的进化论而言，这种观点可称为退化史观。因为它不再一味地把历史看作进化、发展、创造、积累财富、走向美好未来的过程，相反，它向人们揭示：历史将以颓废而终，一切的繁华富足最终不过是虚伪的昙花一现，进化论不过是谎言。
退化史观何以敢向近代以来人们坚信不疑的进化论挑战，并把它斥为无稽之谈？书中从不同的能源环境和人的生存关系上加以论证。当人类处于狩猎--采集时期时，他的能源就是狩猎和采集所得的野生动物，她的生存方式即是狩猎和采集。在狩猎和采集进行中，猎物和可食用的植物日渐相对人的需求在减少，人的活动范围也趋向了极限，而新的生命又在繁衍，生生不思，于是生存的危机来了。这样，原有能源环境中的熵值大增，旧的能源环境为人类所破坏，所余无几。为了维持自身的生存，人必须拼命找到新的能源环境。庆幸的是，在长期的摸索之后，耕种出现了，所以新的能源--农业产品--使人的生存又在另一新的能源环境中持续。与此相似，人们的能源环境又依次经历了木材、煤炭、石油等阶段。社会形态也相应从中世纪、近代社会进入到工业资本主义等阶段。这些社会形态的变化，是因为不同的能源环境不得已需要更替的缘故。
以上的过程若简单的以模式来概括，可表示为:"原有的能源环境"生存的需要导致熵值增加到极限…寻找新能源环境…找到"。这说明人类历史的发展动力是各个能源环境、进而整个能源环境的耗散，是熵值的增加;人类历史总趋势是在每个与能源环境相对应的社会类型中进行被迫的抗争。当新能源不可能再有的时候，当旧的能源环境无法向新的过渡时，历史便终于结束退化，走进消亡。
进化论者讲生产力的发展、讲科学技术的作用、讲社会制度的进步及美好的明天，但是依退化史观者看来，这些不过是人类对整个退化无情趋势抗争的产物。是的，人们可以找到一种又一种新的能源环境，创造一类又一类新的社会形态，但这些不过是徒劳而已。因为人类总是处于一个有限的空间中，如把这个空间比作一个有限的仓库，那么所谓的生产不过是把仓库内的东西搬运回家而已;人们的家也可以比作一个封闭的盒子，在这个盒子里，人们的所谓消费，不过是把有用之物创造成垃圾、粪便、废气和有毒物而已；为进化论者所夸耀的科学技术也不过是这种搬运和创造的加速器而已。所以生产力的提高，科学技术的发展和社会形态的演变实际是加速了社会退化。熵的增加，不能称之为真正的进化。
人类的生存依此来说，也是难容乐观，因为这个无情的趋势最终即是消亡。但作者也提出人在此过程中仍有所作为，因为"人类在这个地球上的一举一动都直接影响到熵的过程的缓急。人类可以通过对自身生活与行为方式的选择决定世界上有效能量的扩散速度。"[《炳:一种新的世界观》第47页]所谓死罪虽然难免，延年益寿还是可以办到的。
作者： 狐狸乌鸦 2005-12-27 20:41 回复此发言
2熵
（二）新的能源危机和发展战略
熵律被提出已经有一百来年了，退化史观古代原本也就有，但直至近十几年它们才被异乎寻常的关注起来。作者认为此中原因也是与现在人们生活的能源环境的变化密切相关。现代人主要以非再生性资源、煤、石油、铀等等为能源环境，这个能源环境现在则面临枯竭，出现危机。所以现在，人们的思想易于容纳、接受熵和退化史观。
那么这个新的能源危机是什么?
是非两生性能源熵值的增加的危机。作者于书中指出，能源消费以美国为首的西方国家为主，以新兴的第三世界国家为辅，它们将在几十年内消耗尽现存在的能源储备;而人工合成燃料、太阳能等等发展有限，不成熟的核能利用还会带来放射线污染的严重危害。我们从二十一世纪之初的事实来看，虽然作者言辞有些夸大，但也不过分，这种能源环境中的熵值是在进一步增加的。这个危机也是全球气候异常和生态平衡遭破坏的危机。臭氧层空洞、冰山消融、厄尔尼诺现象的发生，局部、大部甚至全球性灾害不断，这些是与人们在二百年中走的工业化道路的负面效应密切相关的。不可否认，工业化--这个与现在的能源环境相关连的生产方式--在一些方面成就显赫的同时，却在更大的范围内造成更严重的问题。比如美国农业，水平是世界一流的，但是从能量产出角度来看则不是。一个美国现代农民花
10卡能量(指生产石油、化肥、杀虫剂、除草剂等等所需能量)才能得到1卡能量
(指农产品所含能量);而一个传统农民依赖再生性能源则花l卡能量
(揩手工生产、搜集自然肥料所需劳动力)就可产出10卡能量(指农产品所含能量)。所以从能量产出角度来说，美国农此生产虽是最现代化、最工业化的，却是世界上所有耕作方式中效率最低的。而丑还要带来土壤侵蚀、环境污染、破坏生态平衡的严重负面效应。所以，这种现代的先进、繁荣是以加剧非再生性能源危机、加快熵值的增加为代价的。进一步从个人角度来说，作为本以为可充分享受工业化带来的幸福的个也与工业化联系越紧密，越更多地受现代社会自我创造的疾病、生理负担、精神负担的困扰。
这些问题指出了在此时熵值增加、能源环境面临枯竭的时刻，工业化己无助于人类生活质量的提高和未来的发展。世界需要一个新发展战略，以救地球村于水火。怎么办?这需要发达国家从根本上改变自己的世界观和行为方式，回到低熵上，并主动调整不合理的南北关系，要规避工业化文明带来的危机。发展中国家则也要认识到全盘西化或工业化的错误，确立与民族文化相适应的有效率和有质量的发展战略。人们旧的世界观也要变。作者提倡佛教世界观，因为佛教提倡与自然保持高度一致，要求节制欲望，以求最终成佛。这之中存在着节制欲望的可贵内容。作者是西方人，但不提倡基督教世界观，因为他认为基督教主张开发自然，用不加限制的劳动使自己得救，所以是现代工业化问题的一个潜因，只会加速熵流。所以虽然基督教也有和佛教一样的作为宗教本身的特点:反对非分的消费、占有和对物质的普遍迷恋，作者却不用。这些看法，不一定是定论，但决非杞人忧天。
作者： 狐狸乌鸦 2005-12-27 20:41 回复此发言
3回复：熵
B熵
人死不能复生，破镜不能重圆，以及泼水难收，生米煮成熟饭……，这些说法反映了一个事实，实际过程都具有“单向性”或“不可逆性”。如图10—5所示的“大象闯进瓷器店”生动而形象地揭示了这一事实。
“熵”就是描写这种过程方向性或不可逆性的物理量。熵是一个重要的物理量，但却是一个难懂的概念。德国物理学家克劳修斯足足花费了15年时间，才于1865年正式建立了熵的概念。1877年，德国的另一位著名的物理学家玻耳兹曼赋予了熵统计解释，大大丰富了它的物理内涵。现在，熵已广泛应用于物理学、化学；生命科学、计算机科学，以及许多技术领域，如通信工程、热机与动力工程、制冷工程等。此外，在人文和社会科学的书籍中，也常常会见到这个名词。
一、自然界实际过程的单向性
我们首先从简单的物理过程来考察单向性的含义及其产生的原因。
在日常生活中可以发现，热传递过程和做功过程只能自发地朝一个方向发生，即具有“单向性”。例如，一杯热水放在空气中，它就逐渐冷下来。但是我们却从未观察到相应的逆过程：热量自然地从空气向热水传递而使热水的温度越来越高，虽然在理论上这过程同样可以符合热力学第一定律。因此，热传递过程具有单向性，它只能从高温物体传递到低温物体。其次，一个单摆在来回摆动许多次后，总会停下来，它通过克服摩擦力做功而使机械能转变为内能。同样，我们也从未观察到相应的逆过程：这部分热量重新自然地转变为机械能而使单摆恢复摆动。再如，气体的自由膨胀过程，如图10—6所示。打开容器中间的隔板后，原来储存在容器左边的气体就会向右边的真空区域自由膨胀，最终均匀地分布于整个容器。显然我们同样从未观察到相应的逆过程：气体自行压缩到容器的一边。
大家谈
(1)列举几个自然界和日常生活中具有单向性过程的例子。(2)热传递过程具有单向性，热量只能从高温物体传递到低温物体。这个说法与电冰箱工作过程(热量从冰箱内的低温区传递到外界温度较高的空气中)的实际情况是否矛盾?
热传递、做功产生热、气体的自由膨胀过程是物理学中所讨论的三类典型的单向性过程或不可逆过程，而且这些过程都与热现象和热运动密切相关。
二、熵
当人们认识到热传递、做功产生热和气体的自由膨胀等物理过程的单向性或不可逆性后，就要尝试引进一个物理量，用它来描述自然界实际过程的单向性或不可逆性。这个物理量就是“熵”，它常用S表示。—个系统的熵的(微小)变化△S是系统吸收(或放出)的热量与绝对温度T之比。即
△S= (10.3)
当系统吸收热量时，△Q取为正；当系统放出热量时，△Q取为负。这里我们定义的是熵的变化，而不是熵本身的值。
示例 一个保温瓶容器中，盛有一定量的热水，并放置一块冰块。热水温度设为353K(约80℃)；冰块温度为273K(约0℃)。在1
J的热量从热水传递到冰块的过程中，系统的熵有怎样的变化?如果设想存在相反的过程：1J的热量从冰块传递到热水，系统的熵又会有怎样的变化呢?
解答 可以认为，lJ热量从热水传递到冰块的过程中，热水的温度没有改变。设T1＝353K，T2＝273K。
(1) 在lJ热量从热水传递到冰块的过程中：
热水的熵变△S1= =— J/K;冰块的熵变
△S2= = J/K,因此热水和冰块系统的总熵变为
△S=△S1+△S2=（— + ）J/K
=8.3×10-4J/K<0。
历史回眸
“熵”来自英文“Entropy”。
1923年，著名德国物理学家普朗克来中国南京讲学，我国著名物理学家胡刚复教授为其翻译，首次将“Entropy”译为“熵”。因为这个概念太复杂，且为克劳修斯所创造，中文里找不到一个与此贴切的字。胡先生于是干脆舍难从易，根据式(10.3)认为，S为热量与温度之商，且此概念又与火(象征热)有关，于是在商字上加火字旁，构成一个新字。其后被广泛采用，流传下来，为浩瀚的汉文字库添加了一个新字。
作者： 狐狸乌鸦 2005-12-27 20:44 回复此发言
4回复：熵
讨论
实际的热传递过程中，热量只能从高温物体传向低温物体。所以，实际过程只能沿着熵增加的方向进行。因此我们的确可以用式(10.3)所定义的熵变来描写热传递过程的方向性。
上述示例表明，在热传递过程中，当热量从高温物体传向低温物体时，(总)系统的熵是增加的。同样，在摩擦生热的过程中，两个摩擦物体的总熵也是增加的。克劳修斯通过对大量实际过程的分析，得出了如下结论：在孤立系统小，任何过程总是朝着熵增加的方向进行。这个规律称为熵增加原理。“孤立系统”是指与外界既无热量交换，也无功的交换的系统，如上面示例中保温瓶容器内的热水和冰块所构成的系统就是一个孤立系统。
大家谈
一杯热水和一杯冷水在隔热的条件下充分混合后，它们的内能是否改变?它们的熵是否改变?
三、实际过程不可逆性的解释——统计规律性
熵增加原理可以从大量分子运动的统计规律性得到解释。
如图10-7所示，A、B是一个盛有气体的容器中体积相等的两个
区域。从统计物理学的观点来看，对于任何一个气体分子来说，它的运动是无序的，它随时可能从A区域运动到B区域，或从B区域运动到A区域，所以它出现在A区域或B区域的机会相等，均为
。两个分子在容器中的分布有4种可能性(请列出这4种不同的可能分布)。因此它们同时出现在A(或B)区域的概率是 ，即(
)2。三个分子在容器中的分布有8种可能性(请列出这8种不同的可能分布)。因此它们同时出现在A(或B)区域的概率是 ，即(
)3。以此类推，如果容器中有n个分子，那么它们自发地同时出现在A(或B)区域的概率是( )n。
通常，一摩尔气体的分子数是NA＝6.022╳1023。所以，这些气体分子自发地同时出现在A(或B)区域概率的级是( )1023
。可见，气体分子集中在容器中某一区域的概率非常小，实际上可认为是不可能发生的。而气体分子在容器中均匀分布的概率却非常大。这就是为什么气体分子总是趋向均匀分布的原因。
类似地，当两个温度不同的物体相互接触时，热量从高温物体传向低温物体的概率非常大，其相应逆过程的概率则非常小，所以实际上热量从低温物体传向高温物体的现象是不可能发生的。
总之，在一个孤立系统内，一切实际过程总是向概率大的状态变化的，所以总具有一定的方向性。
大家谈
在示例中，热量是否可能从冰块自动地传向热水，或者冰块和热水中的热量向某个小区域集中，从而使该小区域的温度越来越高?
根据统计物理学的观点，熵是系统无序程度的量度。在图10-7所示的例子中，气体分子集中在容器中的某个区域是一种最有序的情况，此时系统的熵最小；气体分子在容器中均匀分布是一种最无序情况，此时系统的熵最大。可见，熵大，即出现的概率大，意味着“混乱”和“分散”；熵小，即出现的概率小，意味着“整齐”和“集中”。气体分子趋向均匀分布的过程是向概率大的状态变化的过程，也正是熵增加的过程。于是，利用统计规律性对熵增加原理作出了解释。
四、能量的品质
热现象与大量分子的无序运动有关，与热运动相应的能量可称为无序能量。另一类能量，如物体的动能，可称为有序能量。根据熵增加原理，有序能量可以自发地转化为热运动能量，热运动能量只能通过热机部分地做功，并转化为有序能量。从这个意义上说，与热运动相应的能量是一种低品质能量。
实际上，一部热机可看做这样的一台设备：利用热量从高温区(汽缸内的高温燃气气体)向低温区(汽缸外的空气)自然流动的过程中分出的一部分能量推动活塞做功，如图10-8所示，这是熵增加原理允许的过程。注意，图10-8只是显示热机工作时能量流动的一种图解方法，而不是一部热机的实际图像。
从上面的讨论中，可以得出两点推论：
1．热机是靠热量从热端(即高温热源)向冷端(即低温热源)的流动来驱动的，因此热机工作时必须有一个温差。只有单一热源无法使热运动能量转变为功。例如，海水中含有大量的热运动能量，但是，如果没有一个更冷的系统让海洋中的热运动能量流入，就无法用它来做功。热机总是在两个温度不同的系统之间工作的。
作者： 狐狸乌鸦 2005-12-27 20:44 回复此发言
5回复：熵
2．热机工作时，从高温物体流出的热量必须有一部分流到低温物体，这部分热量不能做功。因此，任何热机的效率不可能达到100％，即使从理论上来说也不可能。人们能够做到的是，尽量提高热机的效率。
STS
生命过程和宇宙中星体的产生过程都是从无序到有序的过程。生命体是一个开放系统，它与外界不断地交换物质和能量。“熵增加原理”仅适用于封闭系统，不能简单地应用于生命系统。事实上，生命体作为开放系统，在与外界交换物质和能量的过程中，不断地将多余的熵排向周围环境，使自身的熵减少而保持有序。
点击
不消耗或少消耗能量的热机称为“第一类永动机”；从单一热源取热的热机称为“第二类永动机”。第一类永动机违反能量守恒定律；第二类永动机违反熵增加原理，所以任何制造这两类永动机的企图都是要失败的。
训 练 与 应 用
l．当我们说，单摆的振动是不可逆的，这是否意味着不可能使单摆回到初始状态?
2．一盆水在寒冷的冬天放在户外就要结冰，液态水分子的无序程度比冰高。那么，结冰过程是否违反熵增加原理？
3．一个孤立系统(例如示例l中保温瓶内的热水和冰块系统)，在经过了任何的实际过程后，它的能量总值不变，但是熵的总值增加了。这意味着什么?作出说明。
4．地球每天吸收一定量的太阳光热量Q1，同时向太空排放一定量的热量Q2，平均来说，Q2＝Q1。这两个过程是可逆的吗?这两个过程合起来使地球的熵增加还是减少?是否违反熵增加原理?
5．阅读下面两段文字，体会一下其中的科学道理。
(1)1938年，天体与大气物理学家埃姆顿以“冬天为什么要生火”为题，在英国的《自然》杂志上发表了一则短评，其中说道：“……地球上的生命需要太阳辐射。但生命并非靠入射能维持，因为后者中除微不足道的一部分外都被辐射掉了，如同一个人尽管不断地吸取营养，却仍维持不变的体重。我们的生存条件是需要恒定的温度，为了维持这个温度，需要的不是补充能量，而是降低熵。”
(2)1943年，著名的物理学家薛定锷发表了题为《生命是什么》的小册子，以高度的创新性和洞察力探讨了物理学规律在生命科学中的作用。他指出：“一个生命有机体，在不断地增加他的熵——你也可以说增加正熵一一并趋于熵最大值的危险状态，这就是死亡。要摆脱死亡，就是说要活着，唯一的办法就是从环境里不断地吸取负熵，我们马上就会明白，负熵是十分积极的东西，有机体就是赖负熵为生的。”
作者： 狐狸乌鸦 2005-12-27 20:44 回复此发言
6回复：熵
§3.3 熵和熵增原理
熵(Entropy)是热力学第二定律中一个重要的基础状态函数。熵增原理(Principle of entropy
increase)是热力学第二定律中一个重要的原理。下面利用卡诺定律的结论导出状态函数——熵。
1. 卡诺定律(Carnot law)
由于卡诺热机是一个理想的可逆循环过程，而人们更关心的是实际热机的效率问题。所以，卡诺在作了大量的研究以后得出了一条结论：所有工作于同温热源和同温冷源的热机，其效率都不可能超过卡诺热机的效率。这就是卡诺定律。它实际上叙述了两方面的内容，即
a) 所有工作于两确定温度的热源间的可逆热机，其效率相等。
b) 所有工作于两确定温度的热源间的不可逆热机，其效率小于可逆热机的效率。
若用h表示可逆热机的效率，h / 表示任意热机的效率，则
h≥h /
而 h = (Q1 + Q2) / Q1 = (T1-T2) / T1
h / = (Q1 + Q2) / Q1
故 (T1-T2) / T1≥ (Q1 + Q2) / Q1
-T2 / T1≥ Q2 / Q1
Q1 / T1 + Q2 / T2 ≤ 0
其中 ＜ 表示不可逆， = 表示可逆。
若为无穷小的卡诺循环，则上式变成
δQ1 / T1 + δQ2 / T2 ≤ 0
2．熵的导出
若图3-3所示，对于任意可逆循环过程ACBDA，可以用多个小卡诺循环来替代。
图3-3 任意可逆循环的分割
从图中可以看到，每一条绝热线实际上既是前一个小卡诺循环的绝热膨胀线，又是后一个小卡诺循环的绝热压缩线的部分重叠。由于两者方向相反，故重叠部分相互抵消，从而使这些小卡诺循环的总和形成了一个沿曲线ACBDA的封闭折线。若分割的无限细（即小卡诺循环无穷多）时，这条折线就完全和曲线ACBDA相重叠了。这就是说，任意一个可逆循环均可由无限多个小卡诺循环之和来代替。
对于每一个小卡诺循环，有
δQ1 / T1 + δQ2 / T2 = 0
则多个小卡诺循环之和，也有
δQ1 / T1 + δQ2 / T2 + δQ1/ / T1 + δQ2/ / T2 + … = 0
∑(δQ / T) = 0
对于有无限多个微小卡诺循环分割的任意可逆循环过程来说，则
∮(δQ / T ) = 0
按积分定律，若沿封闭曲线的环积分为零，则所积变量δQ /
T应该是某函数的全微分。该变量的积分值，就只取决于体系的始终态，与过程的具体途径无关。因此某一可逆过程中被积变量δQ /
T的积分值就应该是某一个状态函数的改变值。为此，克劳修斯(Clausius)就将此状态函数定义为熵(Entropy)，并用符号S表示，即
∫(δQ / T ) = DS
δQ / T = dS
说明：
① S是体系的状态函数。
② S是容量性质，因δQ与物质的量成正比。
③ DS只等于可逆过程的热温商。
④ S的单位为J·K-1。
3．熵的物理意义
熵是物质的性质，是体系的状态函数。体系的状态一定，S与p，V，T，U，H一样也都具有确定值。当体系的状态发生变化时，S与p，V，T，U，H一样都有可能发生变化。
熵的物理意义可以由统计热力学的知识说明。但由于时间的问题，统计热力学我们将不予介绍，故在这里对熵的物理意义加以简单说明。
①
对固体物质在恒压下加热，其熵值不断增加（这可由后面的知识得到），同时，物质的温度也不断上升，固体物质发生熔化变成液体，进而发生汽化变成气体。从微观上看，物质中分子的排布越来越乱，有序的程度越来越小。
② 气体在作恒温可逆膨胀时，其熵值不断增加（这可由后面的知识得到），同时，体系中分子的有序的程度越来越小。
③ 两种气体在恒温恒压下混合时，其熵值不断增加（这可由后面的知识得到），同时，体系中分子的有序的程度越来越小。
由此可见：熵量度体系无序程度的函数，即体系的熵越大，体系的有序程度越小，无序程度越大。
4．克劳修斯不等式(Clausius inequality)
对于任意的可逆循环过程，有
∮(δQ / T ) = 0
而对于任意的不可逆循环过程，由卡诺定律出发也可以得到
∮(δQ / T ) ＜ 0
图3-4 不可逆循环
若有一不可逆循环过程如图3-4所示。体系从状态A经过不可逆途径到达状态B，在经过可逆途径回到状态A。则
∮(δQ / T ) ＜ 0
这说明不可逆过程的热温商小于过程的熵变。将此式与∫(δQ / T ) = DS合并得
或 dS ≥ δQ / T
这就是著名的克劳修斯不等式(Clausius
inequality)，它的物理意义在于：若过程的热温商与熵差相等，则为可逆过程；若热温商小于熵变，则为不可逆过程。
5. 熵增原理(Principle of entropy increase)
将克劳修斯不等式应用于孤立体系或绝热过程，则有
dS ≥ 0
或 DS ≥ 0
此式表明在孤立体系（或绝热过程）中，若DS＞0 则为不可逆过程（或自发过程），若DS = 0
则为可逆过程（或平衡），而不能发生DS＜0的过程。
由于上述原因，孤立体系中的熵是不可能自发减小的，一切自发过程都是向着熵增加的方向进行，直至熵值达到最大的平衡态。这就是熵增原理(Principle
of entropy increase)。
通过上述分析，引入状态函数熵解决了孤立体系中自发过程进行的方向问题。即通过DS来判断孤立体系中自发过程进行的方向和限度。而通常对于任意封闭体系，可以将与体系有关的那一部分环境和体系合并起来而成为孤立体系，进而利用DS体
+ DS环≥0来进行判断。这就是熵判据(Entropy criterion)，这也是引入熵的意义。
作者： 狐狸乌鸦 2005-12-27 20:52 回复此发言
7回复：熵
肯定进水了……
作者： 218.1.170.* 2005-12-28 09:11 回复此发言
8回复：熵
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．原载於数学传播十三卷三期
．作者当时任教於美国密西根州立大学数学系
熵 (Entropy)
李天岩
1. Shannon 熵
2. Kolmogorov 熵
3. 拓朴熵 (Topological Entropy)
4. Boltzmann 熵
在我们日常生活中，似乎经常存在看「不确定性」的问题。比方说，天气预报员常说「明天下雨的可能性是
70%。这是我们习以为常的「不确定性」问题的一个例子。一般不确定性问题所包含「不确定」(uncertainty)
的程度可以用数学来定量地描述吗？在多数的情况下是可以的。本世纪40年代末，由於信息理论 (information theory)
的需要而首次出现的 Shannon 熵，50年代末以解决遍历理论 (ergodic theory) 经典问题而崭露头角的
Kolmogorov 熵，以及60年代中期，为研究拓朴动力系统 (topological dynamical system)
而产生的拓朴熵 (topological entropy)
等概念，都是关於不确定性的数学度量。它们在现代动力系统和遍历理论中，扮演看十分重要的角色。在自然科学和社会科学中的应用也日趋广泛。本文的主旨在於引导尽量多的读者在这一引人入胜的领域中寻幽访胜，而不必在艰深的数学语言中踯躅不前。物理、化学家们也许对他们早已熟悉的热力学熵更觉亲切。我们在最後一节也将给古典的
Boltzmann 熵作一番数学的描述。
1. Shannon 熵
设想我们有两枚五分硬币，一枚硬币表面光滑，材料均匀，而另一枚硬币则表面粗糙，奇形怪状。我们把硬币上有人头的那面叫正面，另一面称反面。然後在一个光滑的桌面上旋转硬币，等它停下来後，看是正面或是反面。这是一个不确定性的问题：可能是正面，可能是反面。第一枚硬币，由於正面和反面的对称性，正面或反面朝上的机率各为一半。但对第二枚硬币来说，由於材料磨损，正面和反面不再对称。可能正面朝上的机率为
70%，反面朝上的机率为
30%。对「究竟会是正面？或会是反面？」这一不确定性问题来说，第一枚硬币「不确定」的程度显然比第二枚硬币要大了许多。若要下赌注的话，我想还是下第二枚硬币的正面朝上，较为保险，不是吗？现在假设铸币局的先生们别出心裁，把硬币设计成图1-1所示的形状，其上为正，其下为反，则无论我们怎样旋转它，最终总是正面朝上。它「不确定」的度量应该为零-其结果在未旋转前都已确定，那来什麼「不」确定度呢？
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图1-1
有了这些直接的观察，我们可以在数学上做文章了。假设样本空间 (Sample space) X 有 n 的基本事件
(events)，其基本事件 wi 的概率为 pi, i=1,2,…,n。我们记之为 。当然，我们有基本关系式 ,
i=1,2,…,n。我们要定义一个函数 H 它的定义域是所有的样本空间，它在样本空间 的值，我们用 来表示（X
省略掉）我们要拿这个数来刻划具有概率分别为 p1,p2, …, pn 的事件 w1,w2,…,wn 的样本空间的「不确定度」。
若要精确地反映试验结果的不确定度，似乎必须满足下列三个基本条件：
(i) 对固定 n 来说，H 是 (p1,…,pn) 的连续函数：（这是数学上很基本的要求）
代替硬币，让我们来掷骰子。这骰子是个材料均匀各面光滑的正六边体。当我们将它掷到桌面上时，每个面朝上的机率都是
。究竟是那面朝上的不确定度，显然比旋转光滑对称硬币那面朝上的不确定度要大许多。这个事实若用 H 来表达，应当是 一般来说，H 应当满足。
(ii) 若 ，i=1,2,…,n，则对应的 应当是 n 的单调递增函数。
现在有一笔研究经费要分配给工程系的一名教授或数学系的两名教授之一。假设工程系教授 A 获得这笔经费的可能性是 ，数学系教授 B
获此经费的可能性为 ，而数学系教授 C 获此经费的可能性为
了。事实上，这笔经费现在在教务长那里，他认为为了公平起见，工程系获此资助的可能性为 ，而数学系获此资助的可能性亦为
。工程系若获此资助，系主任只会给教授 A，没有其他的侯选人。但在数学系教授获资助的前提下，教授 B 获资助的可能性为 ，而教授 C
获资助的可能性为 （见图1-2），这两种「绝对不确定」和「相对不确定」分析应给出同样的结果，也就是说，教授 A,B,C
获此研究费的不确定度， 应当等於教务长将它分给工程系或数学系的不确定度， 加上若是分到数学系，教授 B 或教授 C 得此资助的不确定度
，但这个不确定度是在此经费分到数学系的前提下。这种可能只有 ，因此
作者： 狐狸乌鸦 2005-12-28 19:51 回复此发言
9回复：熵
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图1-2
将此分析一般化，我们有下列的条件：
(iii) 若某一试验分解成多个相继的试验，则原先的 H 值应为相应的各个 H 值之加权和 (weighted sum)。
下面我们来证明一个重要结论：
定理1-1：
满足条件(i)、(ii)和(iii)的函数 H 恰好具有形式
其中 K 为某个固定正常数。
证明：
我们分三步来证明此定理。
第一步：记 ，n 为正整数。
断言： A(sm)=mA(s)，其中 s 和 m 均为正整数。
我们先对 s=2,m=3 用下列图1-3所示来证明此断言。即我们要证明 。由条件(iii)得
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图1-3
由归纳法易知，一般地有
这就证明了断言。
现在设正整数 t,s,n 和 m 满足
两边取对数，则有
即
故有
由条件(ii)，A 是其自变量的单调递增函数，且由我们刚证的断言，有
故有
由(1-1)和(1-2)式，我们得到
因为 n 可以取任意自然数，而上式左边与 n 无关，故有
或
其中 K 为一固定正常数，这样我们有
由此，
即，本定理对特殊情形 , i=1,…,n 成立。
第二步：
现在对 pi 取一般的非有理数来证明此定理，我们对 ， ， 来描述证明的思想，作出下列图1-4。
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图1-4
根据条件(iii)
故有
这样分解的目的在於我们可用第一步证明的结果来证明第二步。
令 n1=3, n2=2, n3=1，则
将上面结果抽象化，我们就有，
对一般情形，我们可依同法处理。设 p1,…,pr 为非负有理数，满足 ，则存在自然数 n1,…,nr，使得
利用条件(iii)，我们得到如下的等式
由第一步证明之结果， 代入上式有
故我们证明了(*)式对任何满足 的非负有理数 p1,…,pr 成立。
第三步：设 p1,…,pr 为任意非负实数， 。由条件(i)，H 为 p1,…,pr
的连续函数，而任何实数均可由有理数列来任意逼近，故第二步证明结果隐含了(*)式在实数情形之正确性。定理证毕。
由定理中(*)式可知，若对某一个 i 有 pi=1，则 ，这正好和我们的愿望相符：pi=1
意味著对应的事件总是发生的，因而不确定度为零。
因此，我们可以给出如下关於熵的定义，这个定义的熵 (entropy)，又称为 shannon 熵。
定义1-2：
由式 定义的数， 称为对应於样本空间 的熵。
在本节之初，我们已知旋转光滑硬币时，正面朝上有 的机率，反面朝上也有
的机率，它的不确定度有最大。既然熵是关於不确定度的一种数学度量，这就自然地要求当 时，H 给出最大值。要注意的是，我们在推导 H
表达式的三个基本条件中，并无强加此项要求。现在我们要证明：这个直观的要求，事实上可由上述三个基本条件推出结论。
命题1-3：
设 则
证明：
由初等微积分知函数 是 μ 的严格凹函数。任给 ， 。
当某一 pi 为零时，比如说 pi=0。这就好像一个只有 n-1 个基本事件的样本空间。由上面的推论
第二个不等号是由於条件(ii)。
这节定义的熵起源於信息理论的研究。是 C. Shannon 在1948年引进的。在此基础上，苏联数学家 A.N. Kolmogorov
在1958年给出了动力系统熵的概念。从而揭开了现代遍历理论研究的新篇章。
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作者： 狐狸乌鸦 2005-12-28 19:51 回复此发言
10回复：熵
人类把混合的状态用数学来表述，称其为熵。混合得越均匀，熵也就越大。自然界在不受限制的状态下，熵将变得越来越大。
作者： 狐狸乌鸦 2005-12-28 19:53 回复此发言
11回复：熵
宇宙中的熵值是不断增加的,但我总是想不明白,按毕达哥拉斯的理论,这个世界是完美的,而一旦出现了一个只增不减的东西,就必然要破坏这种完美,谁能告诉我为什么
作者： 狐狸乌鸦 2005-12-28 19:56 回复此发言
12回复：熵
系统的质与规律相对应，它实际上就是载有规律性信息的系统部份。规律有个适用范围，系统的质则有个承受范围，规律在其适用范围内有无限的组织性，系统的质在其承受范围内则可对外来的能量无限地进行组织，于是当系统还处在量变的某个阶段时，如果这时系统与环境的输入与输出平衡，系统不断地将外来无序的力量组织起来，然后又输出去，具有无限组织性的系统质序之降低是可以忽略不计的。但若系统临界质变，所承受的能量已达到了饱和，那么系统的质就象超越了其适用范围的真理那样，其组织性是有限的，系统组织到足够的程度就必定会完全丧失其组织性，整个系统也就衰亡了。
生物体中分化程度越高的组织细胞，其能序就越大，越能适应外来环境的作用。而象生殖细胞，骨髓细胞这样的全能性的组织细胞，其质序水平就很高。生物都是从一个生殖细胞开始生长发育的，随着胚胎发育与个体发育的进行，随着所同化的食物能量的增多，生物全能性的组织细胞在机体中所占的比例就越来越小，而分化了的组织细胞在机体中所占的比例就越来越大。这就意味着生物的生长发育过程是个细胞水平上的能的序位增长的量变过程。当生物完成了个体发育，其量变就结束，就处在临界的质变状态，如果这时的生物仍是沿续量变的道路前进，那么它的遗传本质就会因为承受不了过多的环境能量的作用而走向衰亡。
这又有两条途径，一条途径是生物继续“生长”以致承受不了过于肥大的身体而很快崩亡。另一条途径是生物的输入与输出基本上平衡，生物相对缓慢地走向衰老。想想看，食物是死的，人的细胞是活的，死的东西不断输入到活体内，怎不会降低活体的活度，这就好比冷的物体接触到热的物体势必降低热体的温度（当然人们也不能不进食，将自已与自然界孤立起来只会使人死得更快）。人的衰老过程就是这么一个使人体细胞活度不断降低的过程，当这个与自然环境作用的过程达到足够的程度，人体细胞就基本上都没有活性而回归到无机的非生命世界，人体的质性结构是建立在细胞有活性的基础上，当人体这个细胞群体没有了活性，作为有机体的人也就没有活性。人要延缓衰老，或者长生不老，就要有使人体直至人体细胞变得有序的组织者，自然界比人体序位低，低等的东西怎么能使高等的东西变得更高等呢？事实上，能将人体变得相对有序的事物也确是比人体更为有序。科学是属于人的本质性的精神意识，是属于人体最高的上层建筑，因此作为科学之一的医学就能起到有序地组织人体的作用。食物是人的物质来源，知识则是人的序位来源，一个知识水平很高的人，其精神序位就高，其大脑衰老就会得到延缓。若他能通过气功锻练将精神序位转换为身体序位，那么他的身体衰老的时间也会变长。当人类开悟得道以致本质性的科学知识转换为了人的遗传信息，那么人就发生了质的进化，人体细胞的组织性就有质的增长，人的衰老时间就获得了实质性的延长。
生命在个体发育的时期是不衰老的，这时它与无序的自然环境的交流是不降低其生命活性的，即这个量变过程并不实质性地降低生命系统的质序。然而完成了个体发育之后，生命就会衰老，为什么呢？原因就在于生命的遗传基因好比是科学真理，有一个适用范围，这就是生命的生长范围。当生命未完成其个体生长时，其遗传本质是属于受环境条件支持的有实践基础的“真理”，因此有无限的应用表达能力，将外来的食物组织为生命物质，对其组织活性或序位的损耗可以忽略不计。但当生命完成了个体生长，遗传本质所承受的生物结构达到了饱和，处于临界不稳定状态，就是属于没有环境条件支持，没有实践基础的“道理”，这就好比超越其适用范围的科学真理，于是个体发育完成之后的生命，遗传本质的表达和组织就会损耗自身表达的活性。由生物生殖细胞，骨髓细胞这样的未分化的尚具有全能性的组织细胞的基因所代表的生物遗传本质渐渐地没有了表达活性，生物体也就渐渐地没有了活性的来源，最后必然会在与无序的自然环境的相互作用中完全丧失活性而死亡。”
作者： 狐狸乌鸦 2005-12-28 19:57 回复此发言
13回复：熵
仇恨从何而来呢？
1、熵表示一种混乱状态，设熵为S，则1/2>S>0；
2、宇宙＝世界；
3、S＝1／2时，世界是最完美的，即死亡；
4、S＝0时，世界最不稳定，即混乱最大值；
5、世界从0开始，到1／2结束；
6、我们在0和1／2之间；
7、我们在追求完美，所以我们混乱，而混乱导致痛苦；
8、我们将在痛苦中思索和相爱，这是生命的意义；
9、但是，仇恨从何而来呢？
作者： 狐狸乌鸦 2005-12-28 20:09 回复此发言
14回复：熵
哈哈~~~
热力学课上学的熵增加定理
乌鸦对这也与兴趣么？
我们也学吉布斯函数G了
作者： sisi爱bibi 2006-1-1 18:23 回复此发言
15回复：熵
熵为S那么S应该是:+∞>S>1/2吧.
因为S的基本最小值是1/2所以当不确定性为1/2时那么可以称做为最有序.
而S总是在不断的增加.或者说自然规律就是在不断的增加.
我觉得熵值或者说熵量是在无限的增加.所以S的取值范围应该在+∞到1/2之间.
我们始终在走向正无穷.而开始阶段遗传的基因会使得我们始终保持在1/2之间.
那么当初始基因无法满足我们保持有序的机体组织时才开始走向正无穷.我们的承受能力应该到不了正无穷.
但是这种又无法解释除正常死亡之外的其他死亡.或许个体相对于社会时才应用到熵正如,我们的组织细胞相对与整个人体才有效.
或许商理论适合与一个小的系统.而完全单一个体是无法适应熵定律.
看了你转的这东西对数学公式这方面我是白痴.
至于仇恨我觉得应该是属于遗传基因里的规律性的一方面吧.
而每个人身体的质的部分都受规律性的部分所影响.
这样或许对于仇恨或者除自然死亡外的其他死亡做出些提示与解释吧.
作者： 222.39.78.* 2006-6-17 03:32 回复此发言
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